Eşitsizlikler Konu Anlatımı

A. TANIM

f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0 ifadelerine fonksiyonların eşitsizliği denir.

Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin çözüm kümesi denir.

B. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

m ¹ 0 olmak üzere, f(x) = mx + n koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir doğru belirtir.

C. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

f(x) = ax2 + bx + c koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir parabol belirtir.
1) D > 0 ise,

2) D = 0 ise,

3) D < 0 ise,

 

1) f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a > 0 dır.

2) f(x) = ax2 + bx + c < 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a < 0 dır.

3) a < 0 ve D < 0 ise,

f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi boş kümedir.

 

Ü Polinom fonksiyonlarından oluşan rasyonel fonksiyonların eşitsizliği incelenirken aşağıdaki 5 adım izlenerek çözüm kümesi bulunur. Bu, bütün eşitsizliklerde uygulanabilen pratik bir çözüm yoludur.

1. Adım : Verilen ifadedeki her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

2. Adım : Bulunan bu kökler sayı doğrusunda sıralanır.

3. Adım : Sistemin işareti bulunur.

Sistemin işareti; her çarpandaki en büyük dereceli değişkenlerin katsayılarının çarpımının işaretidir.

4. Adım : Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.

5. Adım : Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur.

Tek katlı kökün soluna sağındaki işaretin zıttı, çift katlı kökün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.

Ü Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez.

(x + 1)100 = 0 Ş x = – 1 çift katlı köktür.

(x – 1)99 = 0 Ş x = 1 tek katlı köktür.

Ü çözüm kümesine;

P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır,

Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz.

Ü çözüm kümesine;

P(x) = 0

Q(x) = 0

sağlayan x değerleri alınmaz.

D. EŞİTSİZLİK SİSTEMİ

İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir.

Bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte sağlayan değerlerin oluşturduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.

Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bu aralıkların kesişim kümesi sistemin çözüm kümesidir.

Ü f(x) > 0 ın çözüm kümesi Ç1 ve

g(x) £ 0 ın çözüm kümesi Ç2 ise

sisteminin çözüm kümesi

Ç1 Ç Ç2 dir.

E. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ

f(x) = ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 olsun.

D = b2 – 4ac olmak üzere aşağıdaki tabloyu yazabiliriz.

F. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BİR

GERÇEL SAYI İLE KARŞILAŞTIRILMASI

f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 (x1 < x2) olmak üzere, k gerçel sayısı ile x1 ve x2 nin karşılaştırılması ile ilgili bilgileri aşağıdaki tabloda verelim.

Ardışık Sayılar ve Özellikleri

Belirli bir kurala göre artan veya azalan sayılara ardışık sayılar denir.

 

n bir tamsayı olmak üzere

 

Ardışık tam sayılar.. n -1, n, n +1 , n +2……

 

Ardışık tek tam sayılar… 2n -1 , 2n + 1 ,2n +3..

 

Ardışık tek ve çift sayılar arasındaki fark 2 dir.

 

Sayı adedi tek ise baştan ve sondan eşit uzaklıktaki sayıya ortanca sayı denir.

 

Örnekler

 

1. Ardışık 3 tek doğal sayının toplamı 57 ise bunların en büyüğü kaçtır?

A) 19        B) 21     C) 23            D) 25

 

Çözüm

 

I. Yol:

Ardışık tek sayılar:

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 57   ise

6n + 9 = 57 6n = 48

n = 8   dir. En büyük tek sayı ise 2n + 5 = 2.8 + 5 = 21  dir.

 

II. Yol:

ilk ardışık tek sayıya x dersek ;

x + (x + 2) + (x + 4) = 57

3x + 6 = 57

3x = 51

x = 17      dir.

En büyük tek sayı ise x + 4 = 17 + 4 = 21   dir. Cevap: B şıkkıdır.

 

2.  a, b, c ardışık üç pozitif çift tamsayıdır.

a < b < c  için

işleminin sonucu kaçtır?

A) 2     B) 1     C) -2       D) -4       E) -6

 

Çözüm

a, b, c sayıları 2, 4, 6   olsun.

(2-6) (4-2) = (-41)2

(6-4)         2

Cevap : D şıkkıdır.

 

 

“Ardışık tam sayılara dizi de denir.”


 

Dizinin terim sayısı n olsun,

 

Dizinin terimler toplamı:

dir.

 

Örnekler

 

1.  5, 8, 11, .., 41  dizinin terim sayısı kaçtır?

 

A) 11    B) 12     C) 13      D) 14        E) 16

 

Çözüm

İlk terim = 5

Son terim = 41

Artış sayısı = 8-5 = 3

Cevap: C şıkkıdır.

 

 

2. 35, 41, 47, …, 239 dizisinin terim sayısı kaçtır?

 

A) 24      B) 28       C) 35       D) 42        E) 45

 

Çözüm

ilk terim = 35

Son terim = 239

Artış  sayısı = 41 – 35 = 6

Cevap: C şıkkıdır.

 

3. 2 + 4 + 6 + 8 + … + 110 = ?

 

A) 2550   B) 2960  C) 3000  D) 3080   E) 3100

 

Çözüm

Cevap: D şıkkıdır.

 

 

4.    

işleminin sonucu kaçtır?


Çözüm

1 + 3 + 5 + … + 41    için

2 + 4 + 6 + … + 40   için

Cevap: A şıkkıdır.

YGS Mutlak Değer

A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| küçük eşittir 0 dır.

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

 

  1. |x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
  2. |x × y| = |x| × |y|
  3. |xn| = |x|n
  4. y esit degildir 0 olmak üzere ,

  1. |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y| (£ = kucuk esittir)
  2. a ³ 0 ve x Î olmak üzere,(³ =buyuk esit ,  Î = elemanıdır)

|x| = a ise, x = a veya x = –a dır.

  1. |x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
  2. x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

      |x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

  1. x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve

      K = |x – a| – |x – b|

olmak üzere,

x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.

  1. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| < a ise, –a < x < a dır.

b) |x| £ a ise, –a £ x £ a dır.

  1. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.

b) |x| ³ a ise, x £ –a veya x ³ a dır.

  • a < b ve c Î olmak üzere,

      |x + a| + |x + b| = c

eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.

1. Yöntem

Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.

x + a = 0 ise, x = –a dır.

x + b = 0 ise, x = –b dir.

Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)

–b £ x, –b < x £ –a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.

1. Durum

–b £ x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b £ x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

2. Durum

–b < x £ –a ise, –x – a + x + b = c olur.

Bu denklemin kökü –b < x £ –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3. Durum

x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

 

2. Yöntem

a < b ve c Î olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c … (¶)

eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.

(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,

(¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = [–b, –a] dır.

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,

(¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = Æ dir.

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,

(¶) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (¶) daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda (¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç {–b – D, –a + D} olur.

Kesir Problemleri

Örnek 1

Ahmet parasının ini harcadığında geriye 80 000 lirası kalıyor.

Ahmet’in başlangıçta kaç lirası vardı?

A) 120 000 B) 150 000 C) 180 000 D) 200 000

Çözüm

l. yol :

Parasının ini harcadığına göre, parasının tamamı

ll. yol :

2 birim ® 80 000 ise, 80 000 : 2 = 40 000 (1 birim)

Tamamı ® 40 000 x 5 = 200 000 liradır.

lll. yol :

Parasının tamamı x lira olsun:

Cevap D

Örnek 2

İbrahim parasının unu Şerife’ye verdiğinde; Şerife’nin parası, kendi parasının i oranında artıyor.

Buna göre, İbrahim’in parasının Şerife’nin parasına oranı kaçtır?

A) 3B) 4C) 8D) 12

Çözüm

İbrahim’in parası : x TL

Şerife’nin parası : y TL olsun.

Verilenlere göre,

Cevap D

Örnek 3

Bir sayının i ile inin toplamı aynı sayının i ile inin toplamından 13 fazladır.

Buna göre, bu sayı kaçtır?

A) 35B) 50C) 60D) 70

Çözüm

İstenen sayı x olsun. Verilenlere göre,

Cevap C

Örnek 4

Bir kesrin değeri tir. Bu kesrin paydasından 5 çıkarılır, payına 5 eklenirse kesrin değeri

oluyor.

Buna göre, ilk kesrin payı kaçtır?

A) 2B) 3C) 4D) 5

Çözüm

Verilenlere göre,

Yani kesrin payı 5 tir.

Cevap D

Örnek 5

Bir bidonun kütlesi boş iken x gram, üçte biri su ile dolu iken y gramdır.

Bu bidonun tamamı su ile dolu iken, toplam kütle kaç gramdır?

A) 2x – 3yB) 2x + 3yC) 3y – 2xD) 3x – 4y

Çözüm

Boş bidonun kütlesi : x gram

Bidonun tamamını dolduran suyun kütlesi : s gram olsun.

Üçte biri su ile dolu iken bidonun kütlesi : y gram olduğuna göre,

Boş bidonun kütlesi : x gram ve bidonun tamamını dolduran suyun kütlesi : 3y – 3x gram olduğuna göre, tamamı su ile dolu bidonun kütlesi :

Cevap C

Örnek 6

Ayşe’nin parasının si 200 000 lira ise, tamamı kaç liradır?

A) 650 000 B) 700 000 C) 780 000 D) 800 000

Çözüm

Cevap B

Örnek 7

Bir sayının inin 10 fazlası, aynı sayının 14 eksiğine eşittir. Buna göre, bu sayı kaçtır?

A) 30B) 32C) 35D) 45

Çözüm

Cevap A

Örnek 8

Bir havuzun yarısı su ile doludur. Bu havuza 20 litre daha su ilave edilirse havuzun ü doluyor. Havuzun tamamı kaç litreliktir?

A) 56B) 64C) 70D) 80

Çözüm

Cevap D

YGS Çarpanlara Ayırma

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

 

 

B. ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı – Toplamı

1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)

2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab

 

2. İki Küp Farkı – Toplamı

1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )

3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 

3. n. Dereceden Farkı – Toplamı

1) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + … + xyn – 2 + yn – 1) dir.

 

2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – … – xyn – 2 + yn – 1) dir.

 

4. Tam Kare İfadeler

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

4) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere,• (a – b)2n = (b – a)2n

• (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

 

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

 

 

5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

• (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

• (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

 

• a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)• a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

• a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2)

 

a3 + b3 + c3 – 3abc =(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

 

C. ax2 + bx + c  BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.

 

1. YÖNTEM

1. a = 1 için,

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

2. a ¹ 1 İken

m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.

 

2. YÖNTEM

Çarpımı a × c yi,

toplamı b yi veren iki sayı bulunur.

Bulunan sayılar p ve r olsun.

Bu durumda,

daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.